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大数定理是概率论中最重要的定理，同时也是最容易被误解的定理。
在抛硬币试验中，我们发现，正面出现的频率随着抛掷次数的增加越来越接近0.5并且越来越稳定，这是大数定理作用于其中的结果，那么，这是否也说明，随着抛掷次数的增加，正面出现的次数和反面出现的次数也越来越接近呢？
在回答之前，我们需要分辨两个数学参量——相对频率和绝对频率。我们用X表示正面出现的次数，Y表示反面出现的次数，N表示抛掷次数。正面出现的相对频率是指X/（X+Y），正面出现的绝对频率是X本身，正面与反面出现次数的绝对频数差是X-Y。我们已知，当N越来越大时，X/（X+Y）会趋近于0.5时，此时X-Y是否也趋于0呢？我们通过实验来验证。
图1-1是抛掷硬币1 000次得到的两条曲线图，左图为相对频率X/（X+Y）与抛掷次数N的关系曲线，右图为绝对频数差X-Y与抛掷次数N的关系曲线。右图中，随着N的增大，X-Y并没有越来越趋近于0，仍然变化不定。通过这个反例，我们可以否定“正面出现次数与反面出现次数越来越接近”的说法。更加反直觉的结论是，X与Y相等的概率会随着N的增加越来越小！
图1-1 抛掷硬币1 000次的相对频数和绝对频数差
在很多赌博游戏中，玩家会对大数定理保有另一个误解：如果反复进行的试验偏向某些结果，那么后边的试验结果很可能会偏向其他结果。举个例子，如果抛硬币10次，正面出现了7次，反面出现了3次，下一次抛掷出现反面的概率会更大吗？我们已经学过独立事件，所以我们要相信，概率依然是50%。可是，这似乎和大数定理矛盾，我们要弥补正面与反面的差值才能让正面出现的次数趋于0.5，难道不是吗？
还真不是！事实上，要让概率趋近于0.5，我们根本不需要弥补此前的不均衡。举一个极端的例子，假如接下来，每抛10次，都会出现5次正面、5次反面，那么，抛掷20次时，正面出现的相对频率会从0.7下降到0.6，再抛10次会下降到0.57，再抛10次会下降到0.55，以此类推，越来越趋近于0.5。也就是说，只要硬币一直随机出现正反两面，大数定理依然成立，根本不需要刻意弥补此前的空缺！从另一个角度来看，随着抛掷次数的逐渐增加，前10次的抛掷结果对相对频数的贡献越来越小。因此，我们并不需要弥补这个小小的缺口。
总之，大数定理只是在描述随机现象的规律，它只会告诉你长期的、平均的情况，它无法预测未来。
