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•骰子游戏3
图1-1
如图1-1所示，骰子3有六个面，却只有两个点数——一点和五点，表1-1列出了随机变量X的取值和概率，由此可以求得期望：
E（X）=（1/6）×1+（1/6）×1+（1/6）×1+（1/6）×5+ （1/6）×5+（1/6）×5 =3
骰子3的点数期望与骰子2一样，可是，这两个骰子明显是不同的，这时我们需要用方差来区分这两个骰子。
表1-1 骰子游戏2中随机变量取值和概率
方差是随机变量取值与期望之差的平方，以对应概率为权重的加权求和。换言之，随机变量的每一个取值减去期望，求平方，再乘以它对应的概率，最后求和，就得到了随机变量的期望。
标准差是方差的平方根，是与期望具有可比性的一个特征值。
设随机变量X有n个取值，分别是x1，x2，…，xn，对应的概率分别是p1，p2，…，pn，那么随机变量X的方差Var（X）和标准差σ（X）分别是
Var（X）=p1·[x1-E（X）]2+p2·[x2-E（X）]2+…+pn·[xn-E（X）]2
方差和标准差总是在一起使用，用来表示随机变量偏离期望的程度，偏离的程度越大，方差和标准差也越大，反之则越小。
以骰子2和骰子3为例，前面已经计算过，它们的点数期望都是3，我们来计算方差和标准差。
骰子2的点数的方差是：
Var（X）=（1/6）×（1-3）2+（1/6）×（2-3）2+（1/6）×（3-3）2+ （1/6）×（3-3）2+（1/6）×（4-3）2+（1/6）×（5-3）2=1.67
骰子2的点数的标准差是：
骰子3的点数的方差是：
Var（X）=（1/6）×（1-3）2+（1/6）×（1-3）2+（1/6）×（1-3）2+ （1/6）×（5-3）2+（1/6）×（5-3）2+（1/6）×（5-3）2=4
骰子3的点数的标准差是：
很明显，骰子3的点数方差大于骰子2的点数方差，这说明骰子3的点数距离期望值更“远”一些，或者说，骰子3的点数更加分散，这一点从表2-5和表2-6中也可以看出。如果点数距离期望值非常近会怎样呢？
•骰子游戏4
如图1-1所示，骰子4有六个面，每个面都是三点，表1-2列出了随机变量X的取值和概率，由此可以求得期望：
E（X）=（1/6）×3+（1/6）×3+（1/6）×3+（1/6）×3+ （1/6）×3+（1/6）×3 =3
方差：
Var（X）=（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2+（1/6）×（3-3）2=0
标准差自然也是0。
表1-2 骰子游戏4中随机变量取值和概率
骰子游戏4是一个极限情况，即随机变量的每一个值都一样，这时，期望一定就是这个值，方差也一定是0——方差和标准差的最小值。事实上，这样的极端情况仅存在理论可能性，并无实际意义，骰子的所有点数都相同，又何谈随机变量和概率呢？
