- A+
条件概率,是针对两个或两个以上的随机事件提出的概念,我们设定任意两个随机事件为A、B,那么,在A已经发生的前提下,B发生的概率就称为条件概率,记为P(B|A)。
概率具有非负性,条件概率是概率的一个类别,因此同样具有非负性,即对于任意随机事件A和随机事件B,P(B|A)≥0。
要研究两个随机事件之间的关系,首先要弄清楚,两个随机事件的概率之间可以进行哪些数学运算,下面我们来介绍概率的加减乘除法则。
首先,我们要定义两个概念:
和事件:随机事件A∪B称为A和B的和事件,它表示随机事件A或随机事件B中至少有一个发生;
积事件:随机事件A∩B称为A和B的积事件,它表示随机事件A和随机事件B同时发生。通常地,我们把A∩B简写为AB。
其次,我们来学习概率的加法和乘法。
概率加法:对任意两个随机事件A和B,有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
概率乘法:对任意随机事件B和满足P(A)>0的随机事件A,有
P(AB)=P(B|A)·P(A)
概率的加法和乘法就是概率论中的四则运算,很多概率问题的计算都需要使用这两种运算。这里需要说明的是,概率加法和乘法的证明不在本书的讨论范围内,我们把它们当作数学中的四则运算一样使用就可以了。
细心的读者会发现,概率乘法中出现了条件概率P(B|A),事实上,概率乘法的另一种表达方式正是条件概率的数学定义。
设随机事件A和B,满足P(A)>0,则
P(B|A)=P(AB)/P(A)
定义为随机事件A发生的前提下随机事件B发生的条件概率。
关于条件概率,我们要讨论的最后一个问题是:对于某个随机事件B和任意随机事件A,P(B|A)和P(B)之间的大小关系是怎样的?
这个问题会让人在一瞬间产生两种截然相反的想法。有些人在想:已知条件越多,事情发生的概率应该越大,所以P(B|A)≥P(B);另一些人在想:已知条件越多,对事件发生的限制也越多,事件发生的概率也越小,所以P(B|A)≤P(B)。