概率论的诞生
17世纪时，从意大利开始的文艺复兴运动已经席卷欧洲，也波及法国，给这里带来了科学与艺术的蓬勃发展和革命。法国数学界人才济济、群星璀璨，人们称其为数学之邦，它也不愧是概率论之故乡。
当时欧洲国家的贵族盛行赌博之风，赌博方式倒是特别简单：掷骰子或者抛硬币。不过，如此简单的赌具中却蕴藏着不一般的数学原理，因为这里涉及的游戏结果是与众不同的一类变量。比如说抛硬币，硬币有正反两面，抛出的硬币落下后的结果不确定，可能是正面，也可能是反面。结果的正反是随机的、难以预料的，却按照一定的概率出现，因而被称为“随机变量”。现在，我们把研究随机变量及其概率的数学理论称为“概率论”。
话说当年的法国有一位叫德•梅雷的贵族，在掷骰子游戏之余，也思考一点相关的数学问题。他苦思不得其解时，便向以聪明著称的帕斯卡请教。1654年，他向帕斯卡请教了一个亲身经历的“分赌注问题”。故事大概如此：梅雷和赌友各自出32枚金币，共64枚金币作为赌注。掷骰子为赌博方式，如果结果出现“6”，梅雷赢1分；如果结果出现“4”，对方赢1分；谁先得到10分，谁就赢得全部赌注。赌博进行了一段时间后，梅雷已得了8分，对方也得了7分。但这时，梅雷接到紧急命令，要立即陪国王接见外宾，于是只好中断赌博。那么，问题就来了，这64枚金币的赌注应该如何分配才合理呢？
这个问题实际上是在15、16世纪时就已经被提出过，称之为“点数分配问题”，意思就是说，在一场赌博半途中断的情况下，应该如何分配赌注？人们提出各种方案，但未曾得到大家都认为合理的答案。
就上面梅雷和赌友的例子来说。将赌注原数退回显然不合理，没有考虑赌博中断时的输赢情况，相当于白赌了一场。将全部赌注归于当时的赢家也不公平，比如当时梅雷比对方多得一分，但他还差2分才能赢，而对方差3分，如果继续赌下去的话，对方也有赢的可能性。
帕斯卡对这个问题十分感兴趣。直观而言，上面所述的两种方案显然不合理，赌博中断时的梅雷应该多得一些，但到底应该多得多少呢？也有人建议以当时两人比分的比例来计算：梅雷8分，对方7分，那么梅雷得全部赌注的8/15，对方得7/15。这种分法也有问题，比如说，如果甲乙双方只赌了一局就中断了，甲赢得1分，乙得0分。按照刚才的分法，甲拿走全部赌注，显然又是极不合理的分法。
帕斯卡从直觉意识到，中断赌博时赌注的分配比例，应该由当时的输赢状态与双方约定的最终判据的距离有关。比如说，梅雷已经得了8分，距离10分的判据差2分；赌友得了7分，还差3分到10分。因此，帕斯卡认为需要研究从中断赌博那个“点”开始，如果继续赌博的各种可能性。为了尽快地解决这个问题，帕斯卡以通信的方式与住在法国南部的费马讨论 。费马不愧是研究纯数学的数论专家，很快列出了“梅雷问题”中赌博继续下去的各种结果。
梅雷原来的问题是掷骰子赌“6点”或“4点”的问题，但可以简化成抛硬币的问题：甲乙两人抛硬币，甲赌“正”，乙赌“反”，赢家得1分，各下赌注10元，先到达10分者获取所有赌注。如果赌博在“甲8分、乙7分”时中断，问应该如何分配这20元赌注。图1-1-5（a）显示了费马的分析过程：从赌博的中断点出发，还需要抛4次硬币来决定甲乙最后的输赢。这4次随机抛掷产生16种等概率的可能结果。因为“甲赢”需要结果中出现2次“正”，“乙赢”需要结果中出现3次“反”，所以在16种结果中，有11种是“甲赢”，5种是“乙赢”。换言之，如果赌博没有中断，而是从中断点的状态继续到底的话，可以算出甲赢的概率是11/16，乙赢的概率是5/16。赌博的中断使得双方按照这种比例失去了最后赢得全部赌注的机会，因此，按此比例来分配赌注应该是合理的方法。所以，根据费马的分析思路，甲方应该得20元×11/16＝13.75元，乙方则得剩余的，或20元×5/16＝6.25元。
帕斯卡十分赞赏费马思路的清晰，费马的计算也验证了帕斯卡自己得到的结论，虽然他用的是与费马完全不一样的方法。帕斯卡在解决这个问题的过程中提出了离散随机变量的“期望值”的概念。期望值是用概率加权后得到的平均值。如图1-1-5（b）所示，帕斯卡计算出从甲方的观点，“期望”能得到的赌注分配为13.75元，与费马计算的结果一致。
“期望”是概率论中的重要概念，期望值是概率分布的重要特征之一，它常被用在与赌博相关的计算中。例如，美国赌场有一种轮盘赌。其轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是1/38。顾客将赌注（比如1美元）押在其中一个数字上，如果押中了，顾客得到35倍的奖金（35美元），否则赌注就没了，即损失1美元。那么，如何计算顾客“赢”的期望值呢？
根据期望值的定义“概率加权求平均”进行计算，图1-1-6显示了计算结果：顾客赢钱的期望值是一个负数，约等于－0.0526美元。也就是说，对赌徒而言，平均起来每赌1美元就会输掉5美分，相当于赌场赢了5美分，所以赌场永远不会亏！
从研究掷骰子开始，帕斯卡不仅仅引入了“期望”的概念，还发现了“帕斯卡三角形”（即中国古书中所记载的“杨辉三角形”），虽然杨辉的发现早于帕斯卡好几百年，但是帕斯卡将此三角形与概率、期望、二项式定理、组合公式等联系在一起，与费马一起为现代概率理论奠定了基础，对数学做出了不凡的贡献。1657年，荷兰科学家惠更斯在帕斯卡和费马工作的基础上，写成了《论赌博中的计算》一书，被认为是关于概率论的最早系统论著。不过，人们仍然将概率论的诞生日，定为帕斯卡和费马开始通信的那一天——1654年7月29日。
