以下称具有对策行为的模型为对策模型或对策。对策模型的种类可以千差万别,但本质上都必须包括以下三个基本要素。
①局中人。
局中人是指在一个对策行为(或一局对策)中,有权决定自己行动方案的对策参加者。通常用 I 表示局中人的集合。如果有 n 个局中人,则 I ={1,2,3,…, n }。一般要求一个对策中至少要有两个局中人。如在“田忌赛马”的例子中,局中人是齐王和田忌。
对策中关于局中人的概念具有广义性。局中人除了可理解为个人外,还可理解为某一集体,如球队、企业等。当研究不确定的气候条件下进行某项与气候条件有关的生产决策时,也可把大自然当作一个局中人。另外,在一个对策中利益完全一致的参加者只能看成是一个局中人,例如桥牌中的东西方和南北方各为一个局中人,虽有四人参赛,但只能算有两个局中人。
需要强调的一点是,在对策中总是假定每一个局中人都是“理智”的决策者或竞争者,即对任意局中人来讲,不存在利用其他局中人决策的失误来扩大自身利益的可能性。
②策略集。
一局对策中,可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案称为一个策略。参加对策的每一局中人 i , i ∈ I ,都有自己的策略集 S i 。一般地,每一局中人的策略集至少包括两个策略。在“田忌赛马”的例子中,如果用(上,中,下)表示上马、中马、下马依次参赛的次序,这就是一个完整的行动方案,即为一个策略。可见,局中人齐王和田忌各自都有6个策略:(上,中,下)、(上,下,中)、(中,上,下)、(中,下,上)、(下,中,上)、(下,上,中)。
③赢得函数(支付函数)。
每一个局中人 i ( i =1,2,…, n )各自选定的策略形成的策略组称为一个局势,即若 S i 是第 i 个局中人的一个策略,则 n 个局中人的策略组 S = ( S 1 , S 2 ,… S n ,)就是一个局势。全体局势的集合 S 可用各局中人策略集的笛卡儿积表示,即 S = S 1 × S 2 ×…× S n 。当一个局势出现后,对策的结果也就确定了。也就是说,对任一局势 s ∈ S ,局中人 i 可以得到一个赢得值 H i ( s )。显然, H i ( s )是局势 s 的函数,称为第 i 个局中人的赢得函数。在齐王与田忌赛马的例子中,局中人的集合为 I = {1,2},齐王和田忌的策略集可分别用 S 1 ={ a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 }和表示。这样,齐王的任一策略 a i 和田忌的任一策略 β j 就形成了一个局势 S i j 。如果 α 1 =(上,中,下), β 1 =(上,中,下),则在局势下齐王的赢得值为 H 11 ( S 11 ) =3,田忌的赢得值为 H 2 ( S 11 ) =-3,等等。