总体均值检验的例子例题

2022年6月30日13:10:37已关闭评论

总体均值的假设检验就是检验当前的总体平均数是否和事先假设的总体平均数（如生产规程规定的产品平均质量水平、根据理论计算的标准水平、根据历史资料计算的平均水平等）存在着显著性差异。

【例1-1】

某电风扇厂根据历史资料统计结果得知，其电风扇平均使用寿命为25 000小时，标准差为1 900小时。现在从新批量生产的电风扇中随机抽取400 台做试验，求得样本平均寿命-x=25 300小时。试按5%的显著性水平判断新产电风扇的平均使用寿命与通常的使用寿命有没有显著的差异，或者它们属于同一总体的假设是否成立。

解：本题是关于“新产电风扇的平均使用寿命与通常的使用寿命有没有显著的差异”，而不需考虑是正差异还是负差异，所以是双侧检验问题，而且是大样本的Z检验。具体求解步骤如下：

（1）设立原假设。H ₀：X-=25 000小时，其意思是总体平均数仍为25 000小时，样本资料并不显示新批量生产的电风扇平均使用寿命与过去有什么显著的差异，因而所发生的差异完全是随机性的。

设立备选假设H ₁：X-≠25 000小时，其意思和原假设相反，即新批量生产的电风扇的平均使用寿命与通常的平均使用寿命有明显的差异。

（2）给定显著性水平。取α=0.05，由于是双侧检验，则两边拒绝区间的概率各为α／2=0.025，即下临界值为-Z _0.025，上临界值为Z _0.025，由于拒绝区间的概率α=0.05，因此接受区间的概率为1-0.05=0.95。查“正态概率分布表”得Z _0.025=1.96，所以下临界值-Z _0.025=-1.96，表示下拒绝区域包括所有小于和等于-1.96的Z值；上临界值Z _0.025=1.96，表示上拒绝区域包括所有大于和等于1.96的Z值。

（3）根据样本信息，计算统计量Z的实际值。

（4）检验判断。由于实际的Z值3.16＞上临界值Z _0.025=1.96，因此我们有理由拒绝原假设H ₀，即推翻新批量生产的电风扇的平均使用寿命和原来没有显著差异的假设，而接受备选假设H ₁，即认为新批量生产的产品质量有明显的提高，或者说，新批量生产的产品和原来的产品并非同一总体。

【例1-2】

某公司年度财务报表的附注中声明，其应收账款的平均计算误差不超过50元。审计师从该公司年度内应收账款账户中随机抽取17笔进行调查，结果其平均计算误差为56元，标准差为8元。试以0.01的显著性水平评估该公司应收账款的平均计算误差是否超过50元。

解：本题的要求是，检验总体平均数是否显著超过原来的声明（假设），因而属于右单侧检验。

（1）设立假设。根据题意，如果调查结果与原来水平有显著的差异（提高），我们就拒绝原假设，所以我们以等于或小于原平均数为原假设，而以大于原平均数为备选假设。

H ₀:X-≤50;H ₁:X-＞50

（2）给定显著性水平。由于要求检验应收账款计算误差是否有显著的提高，因此只需右侧临界值，不存在左侧临界值。由于是小样本，须用t检验，且给定显著性水平α=0.01是单侧的要求。考虑到查用方便，“t分布临界值表”是按单侧和双侧同时设列的，如果单侧要求α=0.01，则双侧就应为2×0.01=0.02，查t分布表得知，自由度ν=n-1=17-1=16时，t _α（ν）=t _0.01（16）=2.583。

（3）根据样本资料，计算检验统计量t的实际值。