例1-1
一种饮料的容器材料可以选择玻璃、塑料或者金属。为了比较消费者对包装材料的偏好，抽样调查了120名消费者发现，最喜欢玻璃、塑料和金属容器的分别有55、25和40人。根据调查结果，能否认为消费者对3种材料的偏好程度是无差异的（α=0.05）？
解
如果消费者对3种材料的偏好程度是无差异的，也就是说消费者对材料的偏好服从均匀分布，则理论上来说，调查120名消费者，偏好每种材料的人数应该是相等的，也就是40人。各组观测到的人数与理论人数（期望值）之间的差异应该都是由于抽样的随机性造成的，因此不应该太大。如果二者之间的差异特别大，则说明我们所做的假设（消费者对3种材料的偏好程度是无差异的）很可能不成立。
可以借用如下统计量来测试：
上式中k是样本分类的个数，X i 表示实际观察到的频数，E i 表示理论频数。观察频数与期望频数越接近，则x 2 值越小。根据皮尔逊定理，当n充分大时，x 2 统计量渐近服从于k-1个自由度的x 2 分布。给定α，查卡方分布表，找到x 2 1 -α （k-1）值，若x 2 >x 2 1 -α （k-1），则拒绝原假设，即几种情况没有差别；否则，接受原假设。
可以将上例的数据代入式（9-36）中，显然：
由于
拒绝原假设，认为消费者对3种材料的偏好程度是有差异的。
