矩估计法的基本思想和例子例题

矩估计法的基本思想和例子例题

矩估计法是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得总体有关参数的估计量的方法。矩是指以期望值为基础定义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等。

矩估计法的基本思想是：

由于样本来源于总体，样本矩在一定程度上反映了总体矩，而且由大数定律可知，样本矩依概率收敛于总体矩，因此只要总体 X 的 k 阶原点矩存在，就可以用样本矩作为总体矩的估计量，用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量。

具体估计方法如下：设 X 为随机变量，对任意正整数 k 和常数 A ，称 E （（ X － A ） ^k ）为随机变量 X 的 k 阶矩。

（1）当常数 A ＝0，称 E （ X ^k ）为随机变量 X 的 k 阶原点矩，记为  Mk＝ E （ X ^k ），当 k ＝1时，  m1＝ E （ X ）＝ μ ；

（2）当常数 A ＝ E （ X ），将 V _k ＝ E ［ X － E （ X ）］ ^k 称为以 E （ X ）为中心的 k 阶中心矩，当 k ＝2时， V ₂ ＝ E ［ X － E （ X ）］ ² ＝ σ ² 。

所以，称一阶原点矩为随机变量 X 的数学期望，二阶中心矩为随机变量 X 的方差。

【例1－1】 已知某企业职工工资 X ～ N （ μ ， σ ² ），其中 μ 和 σ ² 都是未知的，现随机抽取5名职工，月工资分别为1 000元、900元、800元、1 100元和1 200元，试根据样本资料估计该企业全体职工的平均工资 μ 及平均工资的标准差。

解 根据矩估计原理，可以以样本均值 x 即一阶原点矩来估计总体均值 μ ，以样本方差 s ² 即二阶中心矩来估计总体方差σ ² ，进而求解总体标准差。

计算得知，样本均值

＝1 000（元）

样本标准差

所以，该企业全体职工的平均工资 μ 及平均工资的标准差 σ 的估计值分别为1 000元和141．4元。