正态分布，又称高斯分布，是概率统计中最常用的概率分布，正态分布是连续随机变量的概率分布，在描述连续随机变量的分布时，我们使用概率密度函数f（x），而不是P（X），f（x）来源于微积分，这里不做详述，读者们可以把f（x）当作P（X）的一种微观表达方式。
如果随机变量X的概率密度函数为
则称X服从正态分布。我们不需要记住这个复杂的公式，但一定不能忘记正态分布那条完美的钟形曲线，如图4-6所示。
正态分布的期望为μ，方差为σ2，标准差为σ，我们常把期望为μ、方差为σ2的正态分布记为N（μ，σ2），随机变量X服从该分布记为X～N（μ，σ2）。图4-6是标准正态分布N（0，1）的概率分布曲线，从图中可以看出，标准正态分布关于x=0左右对称，此外，图4-6还标注了随机变量X的值落在[-1，1]、[-2，2] 和[-3，3]区间的概率大小，X的值处于[-3，3]区间的概率达到了99.7%，接近100%！这个特性叫作“3σ法则”，它可以拓展到所有的正态分布，即服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量的值几乎一定会落在[μ-3σ，μ+3σ]这个区间内。
图4-6 正态分布
正态分布是“最常用”的概率分布，这可不是空穴来风，正态分布有一种独一无二的能力——化繁为简。
在庞加莱称面包的例子中，庞加莱一口咬定，面包的重量服从正态分布，这是为什么呢？面包虽小，所含的成分却不少，面粉、水分、盐、酵母甚至空气都是面包的成分，每一种成分的重量都有或多或少的随机性，要计算这些随机变量相加之后的概率分布一定十分复杂，大概只有天才数学家才能搞定吧。其实不然，或许庞加莱连面包的成分都不清楚，但他可以确定，面包的重量服从正态分布，因为他懂得——中心极限定理。
中心极限定理是与大数定理并列的重要概率理论，它有几种不同的表达方式，核心思想是，大量的独立随机变量相加，不论各个随机变量的分布是怎样的，它们的加和必定会趋向于正态分布。面包里虽然有很多种未知分布的随机成分，只要这些成分加在一起，一块面包的重量便会服从正态分布。
“大数定理”的另一种表达方式是“均值定理”，其含义是，随机变量X多个观察值的均值会随着观察值的增加越发趋近于期望值μ，中心极限定理进一步告诉我们，均值服从期望为μ的正态分布。
在各种测量试验中，我们一般都认为，测量结果的均值服从正态分布，根据总体均值估计的结论，正态分布的期望μ是应与观察值的均值近似相等，这就是庞加莱用来证明面包店缺斤短两的数学原理。
