有一个很特别的分布，叫作几何分布，这个分布告诉人们，什么时候才能实现第一次。
仍以抛硬币为例，已知出现正反两面的概率各为1/2，在反复抛掷的过程中，我们设定随机变量X表示第一次出现反面时抛掷硬币的次数，我们列出X的概率分布，如表4-3所示。
表4-3 第一次出现反面时抛掷硬币的次数X的分布
用数学公式来表达为
P（X=k）=（1/2）k-1×（1/2），k=1，2，3，…
式中，（1/2）k-1表示前k-1次都是正面，乘号后边的1/2表示第k次是反面。
这个例子有些特殊，因为正面和反面出现的概率相同，如果不相同会怎样呢？我们以骰子游戏为例。
已知骰子有六种点数，每个点数出现的概率都是1/6，反复抛掷骰子，设定随机变量Y表示第一次出现六点时抛掷骰子的次数，我们列出Y的概率分布，如表4-4所示。
表4-4 第一次出现六点时抛掷骰子的次数Y的分布
用数学公式来表达为
P（Y=k）=（5/6）k-1×（1/6），k=1，2，3，…
式中，（5/6）k-1表示前k-1次都不是六点，1/6表示第k次是六点。
透过两个例子，我们可以归纳出几何分布的通用表达。
设随机试验有且只有两种结果A和B，A出现的概率是p，B出现的概率是1-p，反复进行该随机试验，随机试验之间彼此独立，随机变量X表示A第一次出现时随机试验进行的次数，此时我们称随机变量X服从几何分布：
P（X=k）=（1-p）k-1·p，k=1，2，3，…
图4-1是几何分布的概率分布图，从图中可以明显地看出，虽然X的取值有无穷多个，但是X=1的概率是最大的，也就是说，1次成功的可能性最大。
几何分布是一个无限可列的概率分布，要计算它的期望和方差需要使用一些数列求和的计算技巧，我们不细究这些计算技巧，直接给出几何分布的期望和方差。
E（X）=1/p
Var（X）=（1-p）/p2
几何分布的期望与我们的直觉不谋而合。比如，硬币出现反面的概率是1/2，那么平均意义上需要抛2次才会出现反面；骰子的六点出现的概率是1/6，那么平均意义上需要掷6次才能出现六点；中一次彩票大奖的概率是百万分之一，那么平均意义上需要买一百万次才能中一次大奖。
图4-1 几何分布
几何分布只适用于反复进行的独立试验，这一点很容易被人们忽视，我们用两个例子来说明。
例1：选手A参加“一站到底”的选拔考试，题目分三类，历史类、体育类和文学类，每一轮答题，A要从三类题目的混合题库中随机抽取一道题作答。假设A只擅长历史类问题，那么，A答对第一道题平均需要多少轮？
例2：选手A参加“一站到底”的选拔考试，题库只有三个问题，分别属于历史类、体育类和文学类，每一轮答题，A要从三个问题中随机抽取一个作答，作答后该题随即作废。假设A只擅长历史类问题，那么，A答对第一道题平均需要多少轮？
这两个例子类似于抽样中的重复抽样和不重复抽样。例1属于重复抽样，A每一轮答题彼此独立，而且答对的概率相同，都是1/3，因此，例1是典型的几何分布，期望是1/（1/3）=3，所以例1的答案是3轮。在例2中，如果A第一轮没答对，第二轮答对的概率就会变为1/2，如果进入第三轮，他答对的概率更是100%，每轮答题的结果会改变后面轮次的概率，因此各轮之间不是互相独立的，所以例2不能用几何分布来解释。我们简单计算一下便会发现，例2中A在第一、二、三轮首次答对的概率都是1/3，因此，他首次答对问题所需的平均轮次是（1/3）×（1+2+3）=2，即A平均只需要两轮就可以答对一个问题。两个相对比，不重复抽样的规则更有利于A。
