平面薄片的质量：分割、近似、求和、取极限计算方法
设有一平面薄片占有 xoy 面上的闭区域 D ，它在点（ x ， y ）处的面密度为 ρ ρ（ x ， y ），这里 ρ （ x ， y ）＞0，且在 D 上连续。
以下计算该平面薄片的质量 M 。
由于面密度 ρ （ x ， y ）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（ M =ρ ρS ）来计算。但 ρ （ x ， y ）是连续的，利用积分，把薄片分割成许多小块后，只要小块的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀的小薄片，这小薄片的质量可按均匀薄片的质量来计算。
具体如下：
（1）分割：把薄片（即区域 D ）用任意曲线网分成 n 个小区域Δ σ 1 ，Δ σ 2 ，…，Δ σ n ，并以Δ σ i （ i =1，2，…， n ）表示第 i 个小区域（即小薄片）的面积。
（2）近似：由于 ρ ρ（ x ， y ）在区域 D 上连续，当Δ σ i 的直径很小时，这个小区域的面密度的变化也很小，于是，在Δ σ i 上任取一点（ ξ i ， η i ），这块小薄片的质量近似为：
Δ M i ≈ ρ ( ξ i , η i )Δ σ i ( i =1,2,…, n )
（3）求和：把这 n 个小区域的质量相加得整个平面薄片质量的近似值：
（4）取极限：当 n 个小区域的最大直径 λ →0时，上述和式的极限就是所求薄片的质量
