曲顶柱体的体积:分割、近似、求和、取极限计算方法
设有一立体,它的底是 xoy 面上的闭区域 D ,它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面,它的顶是曲面 z = f ( x , y ),这里 z = f ( x , y )≥0且在 D 上连续。这种立体称为曲顶柱体。
下面计算曲顶柱体的体积 V 。
由于曲顶柱体的高 f ( x , y )是变量,它的体积不能直接用体积公式来计算。
但仍可采用上面的分割、近似、求和、取极限的方法来计算:
(1)分割:用曲线网把 D 分成 n 个小闭区域Δ σ 1 ,Δ σ 2 ,…,Δ σ n ,Δ σ i 也表示第 i 个小区域的面积(见 图1-1 )。
(2)近似:在每个Δ σ i ( i =1,2,…, n )上任取一点( ξ i , η i ),则第 i 个小曲顶柱体的体积近似为:
Δ v i ≈ f ( ξ i , η i )Δ σ i
(3)求和:把这 n 个小曲顶柱体的体积相加得曲顶柱体体积的近似值(见 图1-2 )
图1-1
图1-2
(4)取极限:当 n 个小区域的最大直径 λ →0时,上述和式的极限就是所求曲顶柱体的体积: