曲顶柱体的体积:分割、近似、求和、取极限计算方法

2021年2月21日19:28:20曲顶柱体的体积:分割、近似、求和、取极限计算方法已关闭评论

曲顶柱体的体积:分割、近似、求和、取极限计算方法

设有一立体,它的底是 xoy 面上的闭区域 ,它的侧面是以 的边界曲线为准线而母线平行于 轴的柱面,它的顶是曲面 ( , ),这里 ( , )≥0且在 上连续。这种立体称为曲顶柱体。

下面计算曲顶柱体的体积 

由于曲顶柱体的高 ( , )是变量,它的体积不能直接用体积公式来计算。

但仍可采用上面的分割、近似、求和、取极限的方法来计算:

(1)分割:用曲线网把 分成 个小闭区域Δ σ ,Δ σ ,…,Δ σ ,Δ σ 也表示第 个小区域的面积(见 图1-1 )。

(2)近似:在每个Δ σ ( =1,2,…, )上任取一点( ξ , η ),则第 个小曲顶柱体的体积近似为:

Δ ≈ ξ η )Δ σ i

(3)求和:把这 个小曲顶柱体的体积相加得曲顶柱体体积的近似值(见 图1-2 )

曲顶柱体的体积:分割、近似、求和、取极限计算方法

图1-1

曲顶柱体的体积:分割、近似、求和、取极限计算方法

图1-2

(4)取极限:当 个小区域的最大直径 λ →0时,上述和式的极限就是所求曲顶柱体的体积:

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