现今的加里宁格勒，是俄罗斯位于波罗的海东岸的一块飞地，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。在18、19世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家、古典唯心主义的创始人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步！20世纪最伟大的数学家之一、德国的希尔伯特，也出生于此地。
哥尼斯堡景致迷人，碧波荡漾的普累格河横贯其境。在河的中心有一座美丽的小岛，普累格河的两条支流环绕其旁，汇成大河，把全城分为4个区域（图1.1）：
岛区（ A ）、东区（ B ）、南区（ C ）和北区（ D ）。著名的哥尼斯堡大学傍倚于两条支流的旁边，给这一景色怡人的区域又增添了几分庄重的韵味！有7座桥横跨普累格河及其支流，其中5座桥把河岸和河心岛连接起来。古往今来，这一别致的桥群吸引了众多的游人来此漫步！
图 1.1
早在18世纪以前，当地居民便热衷于一个有趣的问题：能不能设计一次散步，使得7座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次。这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。这个问题后来变得有点惊心动魄。据说有一队工兵，因战略上的需要，奉命炸掉这7座桥。命令要求，当载着炸药的卡车驶过某座桥时，就得炸毁这座桥，不得遗漏！
读者如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图，亲自尝试一下。不过，要告诉大家的是，想把所有的可能线路都尝试一遍是极为困难的！因为可能的线路不少于5000种，要想一一尝试，谈何容易！正因为如此，七桥问题的答案便五花八门。有人在屡遭失败之后，倾向于否定满足条件的答案的存在；另一些人则认为，巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现而已，这在人类智慧所未及的领域是很常见的事！
七桥问题有强大的魔力，竟然吸引了天才的莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）。这位年轻的瑞士数学家以其独具的慧眼，看出了这个似乎是趣味几何问题的潜在意义。
1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文的开头是这样写的：
讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支；莱布尼茨最先提起过它，称之为“位置的几何学”。这个几何学分支仅仅讨论与位置有关的关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算。但是至今未有令人满意的定义，来诠释这一位置几何学的课题和方法……
接着，欧拉运用他那娴熟的变换技巧，如图1.2所示，把哥尼斯堡七桥问题变为读者所熟悉的、简单的几何图形的“一笔画”问题，即能否笔不离纸，一笔连续但又不重复地画完以下的图形？
图 1.2
读者不难发现：图1.3中的点 A 、 B 、 C 、 D ，相当于七桥问题中的4块区域；而图中的弧线，则相当于连接各区域的桥。
图 1.3
聪明的欧拉正是在上述图形的基础上，经过悉心研究，确立了著名的“一笔画原理”，从而成功地解决了哥尼斯堡七桥问题。不过，要想弄清欧拉的特有思路，我们还得从“网络”的连通性讲起。
所谓网络，是指某些由点和线组成的图形，网络中的弧线都有两个端点，而且互不相交。如果对于一个网络中的任意两点，都可以在网络中找到某条弧线，把它们连接起来，那么，这样的网络就被认为是连通的。连通的网络简称脉络。
显然，在图1.4中，图（a）不是网络，因为它仅有的一条弧线只有一个端点；图（b）也不是网络，因为它中间的两条弧线相交，而交点却非顶点；图（c）虽是网络，但却不是连通的。而七桥问题的图形，则不仅是网络，而且是脉络！
图 1.4
在网络中，如果有奇数条的弧线交汇于某一点，这样的点称为奇点；反之，称为偶点。
欧拉注意到，对于一个可以用“一笔画”画出的网络，首先必须是连通的；其次，对于网络中的某个点，如果不是起笔点或停笔点，那么它若有一条弧线进笔，必有另一条弧线出笔，也就是说，交汇于这样点的弧线必定成双成对，这样的点是偶点！如图1.5所示。
图 1.5
上述分析表明：网络中的奇点，只能作为起笔点或停笔点。然而，一个可以用一笔画画成的图形，其起笔点与停笔点的个数，要么为0，要么为2。于是，欧拉得出了以下著名的“一笔画原理”：
能用一笔画画成的网络必须是连通的，而且奇点个数或为0，或为2。当奇点个数为0时，全部弧线可以排成闭路。
现在读者看到，七桥问题的奇点个数为4（图1.6）。因而，要找到一条经过7座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的！
图 1.6
想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题，竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串”字和“田”字这类问题一样，而后者并不比前者更为简单！
