定义0.31 设R为整环，a，b∈R．如果存在c∈R使得b＝ac，则称a是b的因子，b是a的倍式，同时称a整除b，记为a｜b．如果a，b≠0，a｜b且b｜a，则称a与b相伴，记为a～b．
显然，如果a＝bc，则a～b当且仅当c为R的可逆元．
定义0.32 设R为整环，a 1 ，…，a n ，b∈R．如果b｜a i （∀1≤i≤n），则称b为a 1 ，…，a n 的公因子．如果d是a 1 ，…，a n 的公因子，且a 1 ，…，a n 的任一公因子都整除d，则称d为a 1 ，…，a n 的最大公因子，记为d＝gcd（a 1 ，…，a n ）或d＝（a 1 ，…，a n ）．相反地，如果a i ｜b（∀1≤i≤n），则称b为a 1 ，…，a n 的公倍式．如果c是a 1 ，…，a n 的公倍式，且c整除a 1 ，…，a n 的任一公倍式，则称c为a 1 ，…，a n 的最小公倍，记为c＝1cm（a 1 ，…，a n ）或c＝［a 1 ，…，a n ］．
一般而言，整环中的一些元素的最大公因子和最小公倍不一定存在．
定义0.33 设R为整环，a∈R，a≠0且a不是可逆元．如果a＝bc（b，c∈R）蕴含b为可逆元或c为可逆元，则称a为R的不可约元；如果a｜bc（b，c∈R）蕴含a｜b或a｜c，则称a为R的素元．
不难证明素元必是不可约元，但反之则未必．
定义0.34 设R为整环．如果R的任一非零元素都可以表示为有限多个不可约元的乘积，并且这种表达式是唯一的，即：对于任一a∈R，a≠0，如果
（其中p i （1≤i≤n），q j （1≤j≤m）都是不可约元），则必有n＝m，且适当调换q j 的顺序可以使得p i ～q i （∀1≤i≤n），则称R是唯一分解整环．
定理0.35 设R是整环，且R的任一非零不可逆元都可以表示为有限多个不可约元的乘积，则下述六条结论等价：
（1）R是唯一分解整环；
（2）R中不可约元都是素元；
（3）R中任意两个元素都有最大公因子；
（4）R中任意有限多个元素都有最大公因子；
（5）R中任意两个元素都有最小公倍；
（6）R中任意有限多个元素都有最小公倍．
定义0.36 设R为整环．如果R的任一理想都是主理想，则称R是主理想整环．
设R是交换幺环，a 1 ，…，a n ∈R．我们以（a 1 ，…，a n ）记（R的）由｛a 1 ，…，a n ｝生成的理想．对于主理想整环R以及a，b∈R，容易验证
因此有
定理0.37 主理想整环是唯一分解整环．
定义0.38 设R为整环．如果存在R＼｛0｝到自然数集 的映射d，满足：对于任意的a，b∈R（b≠0），存在q，r∈R，使得
则称R为欧几里得环．
不难证明
定理0.39 欧几里得环是主理想整环，因而是唯一分解整环．
关于多项式环，一个重要的结果是
定理0.40 唯一分解整环上的一元多项式环仍是唯一分解整环．
推论0.41 唯一分解整环上的多元多项式环仍是唯一分解整环．
定理0.40的基础是所谓“Gauss引理”以及域上的一元多项式环是欧几里得环．Gauss引理是关于“本原多项式”的一个结果．
定义0.42 设R是唯一分解整环，f（x）∈R［x］．如果f（x）的各项系数的最大公因子为1，则称f（x）为R［x］中的本原多项式．
引理0.43（Gauss引理） 设R是唯一分解整环，则R［x］中二本原多项式的乘积仍为R［x］中的本原多项式．
关于多项式的不可约性，有
命题0.44（Eisenstein判别法） 设R是唯一分解整环，K为R的商域，f（x）＝a 0 x n ＋a 1 x n－1 ＋…＋a n ∈R［x］．如果存在R的素元p，满足
则f（x）在K［x］中不可约．
