检验确保正确
小学一年级时，我们刚刚学习加减法，常常算错，老师会教我们做验算。如果是加法运算，就用结果减去加数，查看等不等于被加数，如果是减法运算，就用结果加上减数，检查是否等于被减数。
检验在数学中是必不可少的步骤，它帮助我们识别出错误的计算结果，提高正确率。假设检验是概率统计的常用检验方法，任何涉及统计量的计算，都需要对计算结果做假设检验，这在“假设检验”“线性回归”中都可以看到。只有经得起检验的结果才是正确可信的结果。
对比获得真知
佛说，要把一根绳子变短，只需找来一根更长的绳子。
在概率统计中，这句话蕴含的道理就是一个词——对比。正如上一节中平均工资的例子，仅仅知道平均工资的数值是远远不够的，要深入理解数据，就要做很多对比，不同城市的平均工资对比，同一城市不同行业的平均工资对比，平均工资与工资标准差对比，平均工资与工资中位数对比，等等。这些对比会加深我们的认识，帮助我们理解数据的内涵。
提防线性思维
问题1：假定每一年都是365天，要使“至少两个人的生日为同一天”的概率达到100%，至少需要多少人？
答：366人。
问题2：假定每一年都是365天，要使“至少两个人的生日为同一天”的概率达到50%，至少需要多少人？
答：23人。
我没写错答案，不是183人，是23人。计算过程如下所述。
两个人时，要使他们的生日不同，只需让第二个人的生日避开第一个人，所以概率是364/365，两人生日相同的概率是1-364/365=0.003。
三个人时，要使他们的生日不同，需要第二个人的生日避开第一个人，同时第三个人的生日避开前两个人，所以概率是：
1-（364/365）×（363/365）=0.01
按照这个方式便可以计算n个人中至少两人同一天生日的概率是：
1-（364/365）×（363/365）×（362/365）×…×（366-n）/365
当n=23时，这个概率便超过了50，因此第二个问题的答案是23。
之所以很多人认为是183人，是因为他们把第二个问题想成了“至少一个人与你的生日相同，至少需要多少人”。两个问题的不同点在于，“与你生日相同”是线性的，“至少两人生日相同”不是线性的，是网状的。试想A、B、C三个人的情况，B或C与A同一天生日满足问题中的条件，同时B和C同一天生日也满足。4个人、5个人的情况将更复杂，每个人都可能与其他人生日相同，这将构成一个庞大的概率网络，必定不能用线性思维去解释。
回到第一个问题，为什么答案是366人？因为问题中的说法是“达到100%”，而不是“接近100%”。利用上面的公式可以计算出，当n=50时，至少两人生日相同的概率就会达到97%，十分接近100%，人数的进一步增加只会把这个概率缓慢地推向100%。
这是概率统计中经典的生日谜题，它提醒我们，简单的线性思维很可能出现错误，在解答问题前，要给问题定性，只有线性的问题才能用线性思维求解。
总是反过来想
投资大师查理·芒格曾在演讲中提到一个乡下人的故事，这个乡下人说：“要是我知道我会死在哪里就好了，这样我就永远都不会去那个地方。”看似调侃的一句话包含了查理·芒格最重要的思维方式，他称为“总是反过来想”。
在概率统计中，我们称为“反证法”。当你要证明某个参数等于某个数值时，最好的办法就是反证法，首先假设等于关系成立，再由此得到推论，如果推论与已知条件存在矛盾，说明假设是错的，即等于关系不成立，反之则成立。假设检验正是沿用了反证法的思路，唯一不同的是，假设检验是以显著性水平的形式作出判断，但这并不影响反证法本身。
“如果我不能比全世界最聪明、最有能力、最有资格反驳这个观点的人更能够否定这个观点，我就不配拥有这个观点。”这是查理·芒格的另一句名言，可谓逆向思维的最高境界，在此送给读者，与君共勉。
模糊的正确胜过精确的错误
沃伦·巴菲特：“我宁要模糊的正确，也不要精确的错误。”
经历过2008年金融危机的人，都会明白巴菲特这句话的含义。就在中国股市如火如荼之时，巴菲特却在以13港元的价格陆续减持中石油H股，后来中石油在回归A股的利好刺激下冲高至20港元，巴菲特因此错过了将近50%的收益。大浪淘沙，只有时间能说明一切。2008年年底，没有人再会嘲笑巴菲特损失的“区区”50%收益，相比于50%的收益，50%的损失对投资者的伤害要大得多。“模糊的正确”，是给股票的内在价值划定一个区间，这胜过一个貌似精确实则错误的数字，这就是巴菲特的哲学。
在概率统计中，也会有很多模糊的说法，比如，“二八法则”指的是指数分布的特征，未必要精确符合20%的人掌握80%的财富这个比例，又如，为了节约计算成本，我们常常使用泊松分布代替二项分布。有时，我们放弃了“精确”，却可以得到“正确”“安全”“快捷”甚至更多。
