随机变量的分布函数

随机变量的分布函数

随机变量 X 是样本点 ω 的一个实值函数，为了掌握 X 的统计规律性，我们需要知道 X 取值于某个区间的概率．由于

{ a < X ≤ b }={ X ≤ b }-{ X ≤ a }，

{ X > c }= Ω -{ X ≤ c }。

因此，对于任意实数 x ，只需知道{ X ≤ x }的概率就足够了，我们用 F （ x ）表示这个概率值，显然这个概率值与 x 有关，不同的 x ，此概率值也不一样，下面给出分布函数的定义。

定义2 设 X 是一个随机变量，对于任意实数 x ，称函数

F （ x ）= P （ X ≤ x ），-∞< x <+∞

为随机变量 X 的 分布函数 。

对任意的两个实数-∞＜ a ＜ b ＜+∞，有

P （ a < X ≤ b ）= F （ b ）- F （ a ）。

因此，只要已知 X 的分布函数，就可以知道 X 落在任一区间（ a ， b ］内的概率，所以说，分布函数可以完整地描述一个随机变量的统计规律性。

从这个定义可以看出：

（1）分布函数是定义在（-∞，+∞）上，取值在［0，1］上的一个函数；

（2）任一随机变量 X 都有且仅有一个分布函数，有了分布函数，就可计算与随机变量 X 相关事件的概率问题。