举例说明什么是随机变量：如何理解其定义
在随机试验中有很多试验结果本身就是用数量表示，例如，
（1）抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数 X 的取值；
（2）每年每辆参保的车辆会发生理赔的次数 N ，每次理赔的金额 Y ，这里 N 和Y 的取值；
（3）测量的随机误差 ε 的取值。
在随机试验中还有很多试验结果本身不是用数量表示，这时可以根据需要设置变量，例如，
（1）抛掷一枚均匀的硬币，观察其朝上的面，则样本空间 Ω ={正面朝上，反面朝上}．这时，可按如下方式设置一个变量 X ：
在这里， X 的取值对应如下随机事件：
{ X =1}={正面朝上}，{ X =0}={反面朝上} 。
（2）抛掷三枚均匀的硬币，观察其朝上的面，则样本空间 Ω ={ HHH ， HHT， HTH ， THH ， HTT ， THT ， TTH ， TTT }，其中 H 表示正面朝上， T 表示反面朝上．这时，若一个变量 X 表示“三次抛掷中反面朝上的次数”，则 X 的取值与样本点之间有如下的对应关系：
在这里， X 的取值对应如下随机事件：
{ X =0}={反面朝上0次}={ HHH }，{ X =1}={反面朝上1次}={ HHT ， HTH ， THH}，{ X =2}={反面朝上2次}={ HTT ， THT ， TTH }，{ X =3}={反面朝上3次}={ TTT}。
下面，我们给出随机变量的一般定义。
定义1 在随机试验 E 中， Ω 是相应的样本空间，如果对 Ω 中的每一个样本点 ω，有唯一一个实数 X （ ω ）与它对应，那么就把这个定义域为 Ω 的单值实值函数X=X （ ω ）称为 （一维）随机变量 。
随机变量一般用大写字母 X ， Y 等来表示，随机变量的取值一般用小写字母 x ，y 等来表示．如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值，则称其为离散型随机变量．如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间（或某几个区间的并），则称其为非离散型随机变量．连续型随机变量就是非离散型随机变量中最常见的一类随机变量。
随机变量的定义可直观解释为：随机变量 X 是样本点的函数，这个函数的自变量是样本点，可以是数，也可以不是数，定义域是样本空间，而因变量必须是实数．这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数，也可以让多个样本点对应于一个实数。
随机变量的引入是概率论发展走向成熟的一个标志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多、不易一一总结它们发生的可能性大小的规律的缺陷，因为如果知道随机变量的分布，随机试验下任一随机事件的概率也随之可以得到；另外引入随机变量后，可以使用数学中的微积分工具讨论随机变量的分布。
