Stata的协整与向量误差修正模型：基本原理
向量误差修正模型（Vector Error Correction Model，VECM）体现了这样一种思想：相关变量间可能存在长期的均衡关系，变量的短期变动就是向着这个长期均衡关系的部分调整。相比起VAR模型等，误差修正模型往往有着更为清楚的经济含义。
考虑AR(1)，y t =β 0 +β 1 y t-1 +ε t 。假设β 1 <1，则{y t }为平稳过程。对方程两边求期望，并令长期均衡y * =E(y t )=E(y t-1 )，
则可得y * = 
。将β 0 =(1-β 1 )y * 代回AR(1)的原方程，并在方程两边同时减去y t-1 ，整理可得：
Δy t =(1-β 1 )(y * -y t-1 )+ε t
这就是AR(1)的误差修正模型，它将Δy t 表达为对其长期均衡的偏离(y * -y t-1 )的部分调整加上扰动项。
对于一个各变量协方差平稳的VAR(p)模型，我们也可以通过适当的变换将其写成VEC模型。但很多时候，变量并非平稳的，而是存在单位根。对于一个由I(1)变量构成的VAR模型，如果变量间存在协整（Cointegration）关系，那么我们也可以写出其对应的VEC模型。
具体而言，有时虽然几个变量都是随机游走的，但它们的某个线性组合可能是平稳的。在这种情况下，我们称这几个变量是协整的。假如x t 和y t 都是I (1)，要检验它们之间是否存在协整关系，可以首先对模型进行OLS回归，然后检验残差是否平稳，因为如果x t 和y t 没有协整关系，那么它们的任一线性组合都是非平稳的，残差也将是非平稳的。
一组变量之间协整关系的个数叫协整秩（Cointegration Rank），对于n个I(1)变量，协整秩最多为n-1。
对于协整秩为h的VAR模型：
y t =ν+δt+Φ 1 y t-1 +…+Φ p y t-p +ε t
我们可以导出其向量误差修正形式（VECM Representation）：
Δy t =ν+δt+αβ′y t-1 +Γ 1 Δy t-1 +Γ 2 Δy t-2 +…+Γ p-1 Δy t-p+1 +ε t
其中，Γ s =-(Φ s+1 +…+Φ p )，αβ′=-(I n -Φ 1 -Φ 2 -…-Φ p )。α、β为两个n×h的满列秩矩阵（α、β不唯一），这样，z t-1 =β′y t-1 即为误差修正项，代表了变量间的长期关系；α即为调整参数矩阵。
