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在假设检验中,原命题和原命题的否定是对立的存在:原命题为真,则原命题的否定为假;原命题为假,则原命题的否定为真。
例如,对于某型号灯泡的平均使用寿命是否为 3 000 小时的假设检验问题,如果原命题为该型号灯泡的平均使用寿命等于 3 000 小时,则与之对立的假设应该为该型号灯泡的平均使用寿命不等于3 000小时。
对于2017年济南市老年人口比例是否大于等于20%的假设检验问题,如果原命题为2017年济南市老年人口比例大于等于20%,则与之对立的假设应该为2017年济南市老年人口比例小于20%。
两个实例中,前一个假设称为原假设,用符号“H”表示;与之互补对立的假设称为备择假设,用符号“H1”表示。
因为原假设H的下标用“0”表示,所以原假设也称为零假设。原假设与备择假设互斥,不拒绝原假设意味着放弃备择假设,拒绝原假设意味着接受备择假设。
原假设与备择假设的确定通常与所要检验问题的性质、检验者所要达到的目的有关。
一般情况下,会把研究者收集证据予以反对或否定的一方设立为原假设,而把研究者收集证据予以支持的一方设立为备择假设。
研究者予以反对或否定的原假设一般为原有的、传统的观点或结论,备择假设则为新的、可能的、猜测的新命题,这样可以更好地体现假设检验的价值。因为如果我们完全认可原有的命题就没有必要去检验了。正是因为我们对原有的结论产生了怀疑,所以我们会通过收集信息获得证据,希望能用事实推翻原有的结论,得出新的结论,实现吐故纳新。
此外,总是把表示没有差异、没有改变的“=”放在原假设H一方。原假设与备择假设一般表示如下。
H:θ=θ H1:θ≠θ
H:θ≥θ H1:θ<θ
H:θ≤θ H1:θ>θ
θ为某一总体的参数值,常用的总体参数主要有总体均值μ、总体比例π和总体方差σ2。以对总体均值μ的假设检验为例,原假设与备择假设可以表示如下。
H:μ=μ H1:μ≠μ
H:μ≥μ H1:μ<μ
H:μ≤μ H1:μ>μ
根据假设检验中原假设与备择假设的表述中是否存在方向性,假设检验可以分为双侧检验和单侧检验。在“H:θ=θ;H1:θ≠θ”中,原假设与备择假设均不存在特定的方向性,这类只强调差异而不强调方向性的检验称为双侧检验。而在“H:θ≥θ;H1:θ<θ”和“H:θ≤θ;H1:θ>θ”中,原假设与备择假设均存在特定的方向性,这一类检验称为单侧检验。其中,备择假设用“<”表示的检验称为左单侧检验,备择假设用“>”表示的检验称为右单侧检验。
【例6-1】质量检测人员对某台机器生产零件的直径是否符合标准进行检验,该零件直径的生产标准为10cm。
解析
质检人员希望通过搜集证据支持“机器生产不正常”的假设,故检验形式可写为如下形式。
H:μ=10 cm 予以否定的命题
H1:μ≠10 cm 予以支持的命题
【例6-2】采用新技术后,将会使产品的寿命延长到5 000小时以上。
解析
产品的使用寿命没有超过5 000小时是原来的情况,故检验形式可写为如下形式。
H:μ≤5 000小时 予以否定的命题
H1:μ>5 000小时 予以支持的命题
【例6-3】改进生产工艺后,产品的废品率会降到1%以下。
解析
以前的产品废品率在1%以上,改进生产工艺可以使产品废品率下降是需要支持的命题,故检验形式可写为如下形式。
H:π≥1% 予以否定的命题
H1:π<1% 予以支持的命题
【例6-4】一项研究认为,与不吸烟相比,吸烟容易导致肺癌。
解析
若令π1为吸烟人群的肺癌发病率,π2为不吸烟人群的肺癌发病率,则该命题的表述为π1≥π2。也许有人对此有不同看法,但要推翻上述命题,验证“吸烟与肺癌无关”这个新命题则需要证据,故检验形式可写为如下形式。
H:π1≥π2 予以否定的命题
H1:π1<π2 予以支持的命题